കളഞ്ഞു പോയ നോട്ടുപുസ്തകം..

കളഞ്ഞു പോയ നോട്ടുപുസ്തകം..

ഇന്ത്യൻ പ്രധാനമന്തിയോടും മറ്റു ബിജെപി നേതാക്കളോടും എനിക്കൊരപേക്ഷയുണ്ട്. ഇന്ത്യയുടെ ശാസ്ത്ര ചരിത്രത്തെ കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് മറ്റു രാജ്യക്കാരെ അറിയിക്കണമെങ്കിൽ, ഗണപതിയുടെ തല മാറ്റിവച്ചതിനെ പ്ലാസ്റ്റിക് സർജറിയോടും, സീതയുടെ ജനനത്തെ ടെസ്റ്റ് ട്യൂബ് ശിശുവിനോടും ഉപമിച്ചും , മഹാഭാരത സമയത്ത് ഇന്റർനെറ്റ് ഉണ്ടായിരുന്നു എന്ന് കള്ളങ്ങളും മണ്ടത്തരങ്ങളും പറയുന്നതിന് പകരം നിങ്ങൾക്ക് എന്തുകൊണ്ട് ഇന്ത്യയിലെ യഥാർത്ഥത്തിൽ ഉണ്ടായിരുന്ന അസാധാരണ പ്രതിഭകളെ പറ്റി ലോകത്തെ അറിയിച്ചു കൂടാ?

ഒരു ഉദാഹരണത്തിന് കഴിഞ്ഞ നൂറു വർഷങ്ങളിൽ ഗണിത ശാസ്ത്രത്തിലെ ഏറ്റവും വലിയ പ്രതിഭകളെ നോക്കിയാൽ അതിൽ മുൻപിൽ നിൽക്കുന്നത് ഒരു ഇന്ത്യക്കാരനാണ്. അദ്ദേഹം നൂറു വർഷങ്ങൾക്ക് മുൻപ് തന്റെ മൂന്നു നോട്ടുപുസ്തകങ്ങളിൽ കുറിച്ചിട്ട നാലായിരത്തോളം സമവാക്യങ്ങളെ കുറിച്ച് ഇന്നും ഗവേഷങ്ങൾ നടക്കുകയാണ്. ബ്ലാക്ക് ഹോളിന്റെ എൻട്രോപ്പി കണക്കാക്കുന്നതിലും , ഭൗതിക ശാസ്ത്രത്തിലെ സ്ട്രിംഗ് തിയറിയിലും, ഫേസ് ബുക്കിൽ കൂട്ടുകാരുടെ കൂട്ടം ഉണ്ടാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന സോഫ്ട്‍വെയറിലും , പല നഗരങ്ങൾ തമ്മിൽ ഏറ്റവും കാര്യക്ഷമമായി ആയി ബന്ധിപ്പിക്കുന്നതിലും എല്ലാം അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഫോർമുലകൾ ആണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. അദ്ദേഹം അന്ന് എഴുതി വച്ച ചില സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ചില പുതിയ ശാഖകൾ തന്നെ തുറന്നിട്ടുണ്ട്. കെ സർഫേസ്, മോക്ക് തീറ്റ ഫങ്ഷൻ തുടങ്ങി അനേകം കാര്യങ്ങളിൽ ഇന്നും കെൻ ഒനോയെ പോലുള്ള ഗണിത ശാസ്ത്രഞ്ഞന്മാർ ഗവേഷണം നടത്തുന്നു.

ഇത്രയും പറഞ്ഞതിൽ നിന്ന് ആൾ ആരാണെന്ന് പലരും ഊഹിച്ചു കാണും.

പക്ഷെ അതിന് മുൻപ് അദ്ദേഹത്തിന്റെ നഷ്ടപ്പെട്ടു പോയ ഒരു നോട്ടുപുസ്തകത്തിന്റെ കഥ പറയാം.

1913 ജനുവരി 31 നാണ് കേംബ്രിഡ്ജ് ട്രിനിറ്റി കോളേജിലെ കണക്ക് പ്രൊഫസർ ജി എച്ച് ഹാർഡിക്ക് മദ്രാസ് പോർട്ടിലെ ക്ലാർക്ക് ആയിരുന്ന ശ്രീനിവാസ രാമാനുജന്റെ ഒരു കത്ത് കിട്ടുന്നത്. 11 പേജുള്ള ആ കത്ത് തുടങ്ങുന്നത് ഇപ്രകാരം ആയിരുന്നു

“സർ, ഞാൻ മദ്രാസ് പോർട്ട് ട്രസ്റ്റിലെ അക്കൗണ്ട്സ് ഡിപ്പാർട്മെന്റിലെ ഒരു ക്ലാർക്ക് ആണ്. വർഷത്തിൽ ഇരുപത് പൗണ്ട് ശമ്പളത്തിൽ ജോലി ചെയ്യുന്ന എനിക്ക് ഇപ്പോൾ 23 വയസുണ്ട്. കണക്കാണ് എന്റെ ഇഷ്ടവിഷയം. പക്ഷെ കോളേജ് ഡിഗ്രി ഉള്ള ഒരാളല്ല ഞാൻ, എന്നാൽ ഞാൻ കണ്ടുപിടിച്ച ചില സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഇവിടെ ചേർക്കുന്നു. 1+2+3+4+.. എന്നിങ്ങനെ അനന്തമായി അക്കങ്ങൾ കൂട്ടിയാൽ -1/12 കിട്ടും എന്ന് ഞാൻ പറഞ്ഞാൽ ഒരുപക്ഷെ എനിക്ക് ഭ്രാന്താണെന്ന് പലരും കരുതും. ദയവായി ഈ കത്ത് വായിക്കുക , എന്റെ കണ്ടുപിടുത്തങ്ങൾ പബ്ലിഷ് ചെയ്യണം എന്ന് എനിക്കാഗ്രഹം ഉണ്ട്.”

അടുത്ത പേജുകളിൽ അന്നറിയപ്പെടുന്ന പ്രശസ്ത ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ആയ ഹാർഡിയുടെ കണ്ണ് തള്ളിച്ച സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ആയിരുന്നു. അതിൽ ചിലത് അപ്പോൾ കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ടിരുന്നവയാണെങ്കിൽ കൂടി ഭൂരിഭാഗവും അന്ന് വരെ ആരും കണ്ടിട്ടില്ലാത്ത സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ആയിരുന്നു. അതിനെ കുറിച്ച് ഹാർഡി പിന്നീട് എഴുതി

“അന്നുവരെ ഞാൻ കാണാത്ത തരത്തിലുള്ള ഫോർമുലകൾ ആയിരുന്നു ആ കത്തിൽ ഉണ്ടായിരുന്നത്. ഒരു ജീനിയസിനു അല്ലാതെ ഇങ്ങിനെ എഴുതുവാൻ കഴിയില്ല എന്ന് തെളിവുകളുടെ അഭാവത്തിൽ പോലും ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ തന്നെ മനസിലാകുന്നവ. ഇവ സത്യം ആയിരിക്കണം, കാരണം സത്യമല്ലാതെ ഇങ്ങിനെ ആലോചിച്ച് എഴുതാൻ ആർക്കും സാധ്യമല്ല തന്നെ ”

കഴിഞ്ഞ നൂറു വർഷത്തിലെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഗതി മാറ്റിയ ഒരു കൂട്ടുകെട്ടാണ് അവിടെ തുടങ്ങിയത്. കണക്കു മാത്രം ഇഷ്ടപെട്ട, നാമക്കലിലെ നാമഗിരി ദേവിയാണ് തന്റെ മനസ്സിൽ ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ കൊണ്ടുവരുന്നത് എന്ന് വിശ്വസിച്ച, മറ്റു വിഷയങ്ങൾക്ക് തോറ്റത് കൊണ്ട് കോളേജ് പഠനം പൂർത്തിയാക്കാൻ കഴിയാതിരുന്ന രാമാനുജനും, എല്ലാം തെളിവിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ വേണം എന്ന് വിശ്വസിച്ച ഹാർഡിയും കൂടി നമ്പർ തിയറി ഉൾപ്പെടെയുള്ള ഗണിതശാഖകൾ ഉഴുതു മറിച്ചു.

കടൽ കടന്നാൽ നരകത്തിൽ പോകും എന്ന് വിശ്വസിച്ചിരുന്ന രാമാനുജൻ കടല് കടന്ന് ഇംഗ്ലണ്ടിൽ പോകാൻ തീരുമാനിച്ചത് കണക്കിനോടുള്ള പ്രണയം കൊണ്ട് തന്നെ ആകണം. 21 വയസുള്ളപ്പോൾ വിവാഹം കഴിച്ച ഒൻപത് വയസുകാരി ജാനകിയെ ഒറ്റക്കാക്കി താൻ അതുവരെ എഴുതി വച്ച 3000 ഓളം സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉള്ള രണ്ടു നോട്ടുപുസ്തകങ്ങളും ആയി രാമാനുജൻ 1914 മാർച്ച് 17 ന് ഇംഗ്ലണ്ടിന് കപ്പൽ കയറി.

തികഞ്ഞ വെജിറ്റേറിയൻ ആയിരുന്ന രാമാനുജന് ഇംഗ്ലണ്ടിലെ വാസം അത്ര സുഖകരം ആയിരുന്നില്ല. മുൻപുണ്ടായിരുന്ന വയറിന്റെ അസുഖവും, ഒന്നാം ലോക മഹായുദ്ധവും എല്ലാം ചേർത്ത് അദ്ദേഹത്തിന്റെ ജീവിതം ദുസ്സഹം ആക്കിയിരുന്നു. വയറിന്റെ അസുഖവും കൂടിവന്നു, അവസാനം 1919 മാർച്ചിൽ അദ്ദേഹം നാട്ടിലേക്ക് തിരികെപ്പോയി. 1920 ഏപ്രിൽ മാസം വെറും 32 ആം വയസിൽ മരിക്കുകയും ചെയ്തു.

പക്ഷെ ഇന്ത്യയിൽ വച്ചും ഇംഗ്ലണ്ടിൽ വച്ചും അദ്ദേഹം നടത്തിയ കണ്ടുപിടുത്തങ്ങൾ അസാധാരണമാണ്. പലരും കേട്ടിരിക്കുന്ന സംഭവമായിരിക്കും, 1972 എന്ന ഹാർഡി രാമാനുജൻ സംഖ്യയെ കുറിച്ചുള്ളത് . ഹാർഡി, രാമാനുജനെ ആശുപത്രിയിൽ കാണാൻ വന്ന ടാക്സിയുടെ നമ്പർ ആയിരുന്നു അത്. ഒരു പ്രത്യേകതയും ഇല്ലാത്ത നമ്പർ എന്ന് ഹാർഡി രാമാനുജനോട് പറഞ്ഞു എന്നും, രണ്ടു വ്യത്യസ്ത നമ്പറുകളുടെ ക്യൂബുകളുടെ തുകയായി വരുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ അക്കം എന്ന വളരെ വലിയ പ്രത്യേകത ഉള്ള സംഖ്യ ആണ് അതെന്നും രാമാനുജൻ ഉടനെ മറുപടി കൊടുത്തതും ആണ് ഈ സംഭവം. (1729 = 1*1*1 + 12*12*12 = 9*9*9 + 10*10*10 ).

ഈ സംഖ്യ കേട്ട ഉടനെ ഇതിന്റെ പ്രത്യകത രാമാനുജന് എങ്ങിനെ കണ്ടുപിടിക്കാൻ സാധിച്ചു എന്ന് അറിയണമെങ്കിൽ രാമാനുജന്റെ നോട്ടുപുസ്തകം നോക്കണം. ഗണിത വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് സുപരിചിതം ആയ ഫെർമയുടെ അവസാന തിയറം തെളിയിക്കാൻ ഉള്ള കഠിന പരിശ്രമത്തിൽ ആയിരുന്നു രാമാനുജൻ. അതിന്റെ ഭാഗമായി പല ക്യൂബുകളുടെ തുകയും അദ്ദേഹത്തിന് സുപരിചിതമായിരുന്നു. എല്ലാ അക്കങ്ങളും രാമാനുജന്റെ സുഹൃത്തുക്കൾ ആയിരുന്നു എന്നായിരുന്നു ഹാർഡിയുടെ സുഹൃത്തും സഹായിയും ആയ ലിറ്റിൽ വുഡ് അഭിപ്രായപ്പെട്ടത്.

ഇംഗ്ലണ്ടിലേക്ക് അദ്ദേഹം കൊണ്ടുപോയ രണ്ടു നോട്ടുബുക്കുകളെ കുറിച്ച് ലോകം മുഴുവൻ അറിഞ്ഞെങ്കിലും, അദ്ദേഹം ഇന്ത്യയിൽ തിരിച്ചു വന്നു ഒരു വർഷം കഴിഞ്ഞ് അദ്ദേഹം മരിക്കുന്നതു വരെ കണ്ടുപിടിച്ച സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ആണ് അദ്ദേഹത്തിന്റെ കളഞ്ഞു പോയ നോട്ടുപുസ്തകം എന്നറിയപ്പെടുന്ന മൂന്നാമത്തെ നോട്ടുപുസ്തകം. അദ്ദേഹത്തിന്റെ മരണശേഷം എല്ലാ നോട്ടുപുസ്തകങ്ങളും മദ്രാസ് യൂണിവേഴ്സിറ്റി ലൈബ്രറിക്ക് ഭാര്യ ജാനകിയമ്മാൾ നൽകി. അതിൽ ആദ്യത്തെ രണ്ടു നോട്ടുപുസ്തകങ്ങളുടെ കോപ്പിയും, മൂന്നാമത്തെ നോട്ടുപുസ്തകത്തിന്റെ ഒറിജിനലും മദ്രാസ് ലൈബ്രറി ലണ്ടനിൽ പ്രൊഫെസ്സർ ഹാർഡിക്ക് അയച്ചു കൊടുത്തു. രാമാനുജന്റെ എല്ലാ ഗവേഷണ ഫലങ്ങളും ക്രോഡീകരിക്കുന്ന തിരക്കിൽ ആയിരുന്നു അദ്ദേഹം. പല കാരണങ്ങൾ കൊണ്ട് ആ ജോലി പൂർത്തീകരിക്കപ്പെടാതെ കിടന്നു. 1940 ഹാർഡി രാമാനുജന്റെ എല്ലാ നോട്ടുപുസ്തകങ്ങളും കേംബ്രിഡ്ജ് ലൈബ്രറിക്ക് നൽകി. 1976 വരെ ആരാലും ശ്രദ്ധിക്കപെടാതെ രാമാനുജന്റെ മൂന്നാമത്തെ നോട്ടുപുസ്തകം മറ്റു രണ്ടു പുസ്തകങ്ങളുടെ കൂടെ ഈ ലൈബ്രറിയിൽ പൊടിപിടിച്ചു കിടന്നു.

1976 ൽ അമേരിക്കയിലെ പെൻസിൽവാനിയ സർവകലാശാലയിലെ പ്രൊഫസർ ജി.ഇ ആൻഡ്രൂസ് ആണ് ഈ നോട്ടുപുസ്തകം പൊടിപിടിച്ചു കിടക്കുന്ന നിലയിൽ ട്രിനിറ്റി കോളേജ് ലൈബ്രറിയിൽ കണ്ടെത്തുന്നത്. വെറും 38 പേജ് മാത്രം ഉള്ള ഉള്ള ഈ നോട്ടുപുസ്തകത്തെ കുറിച്ച് ജി ഇ ആൻഡ്രൂസും, ബ്രൂസ് സി ബേൺട്സും കൂടി ഗവേഷണം നടത്തി പ്രസിദ്ധീകരിച്ചിരിക്കുന്നത് 500 പേജുകൾ വീതമുള്ള 5 വോള്യങ്ങൾ അടങ്ങിയ ഒരു പുസ്തകം ആണ്. ആദ്യഭാഗം 1985 ൽ പുറത്തിറങ്ങിയതെങ്കിൽ അഞ്ചാം ഭാഗം അടുത്ത മാസം ( 2018 ജൂലൈ) യിൽ പുറത്തിറങ്ങാൻ ഇരിക്കുന്നതെ ഉള്ളൂ. ആമസോണിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഈ പുസ്തകം പ്രീ ഓർഡർ ചെയ്യാം. 38 പേജിൽ നിന്നും 2500 പേജുള്ള പുസ്തകം ഇറക്കി എന്ന് കേൾക്കുമ്പോൾ എത്ര ആറ്റിക്കുറുക്കിയാണ് രാമാനുജൻ തന്റെ നോട്ടുപുസ്തകങ്ങളിൽ തിയറങ്ങൾ എഴുതിയിരിക്കുന്നത് എന്ന് മനസിലാകും. ഒരു പക്ഷെ ഇന്ത്യയിൽ പേപ്പർ അധികം ലഭിക്കാത്തതിന്റെയോ, രാമാനുജന് ഗണിതത്തിൽ താല്പര്യം ഉണ്ടാക്കിയ ജി എസ് കാറിന്റെ സിനോപ്സിസ് ഓഫ് പ്യുർ മാത്തമാറ്റിക്സ് എന്ന പുസ്തകത്തിന്റെ ശൈലിയോ ആവണം രാമാനുജൻ തെളിവുകൾ (proof ) ഇല്ലാതെ അവസാന ഫോർമുലകൾ മാത്രം എഴുതിവയ്ക്കാൻ കാരണം. ഒരു വലിയ സ്ലേറ്റിൽ കണക്കുകൂട്ടി, അവസാന ഫോർമുല മാത്രം പകർത്തി എഴുതുക ആയിരുന്നു രാമാനുജൻ ചെയ്തുകൊണ്ടിരുന്നത്.

രാമാനുജന്റെ പ്രതിഭയ്ക്ക് ഒരു ചെറിയ ഉദാഹരണം കൂടി പറഞ്ഞു ഈ കുറിപ്പവസാനിപ്പിക്കാം. ഒരു സംഖ്യ എങ്ങിനെയെല്ലാം മറ്റു ചെറു സംഖ്യകളുടെ തുകയായി എഴുതാം എന്നതാണ് ആ സംഖ്യയുടെ പാർട്ടീഷൻ എന്നത് കൊണ്ട് ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന്, 4 എന്ന സംഖ്യ

4

3 + 1

2 + 2

2 + 1 + 1

1 + 1+ 1+ 1

എന്നിങ്ങനെ 5 വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ എഴുതാം. എന്നു വച്ചാൽ 4 ന്റെ പാർട്ടീഷൻ 5 ആണ്. ആറിന്റെയും ഏഴിന്റെയും ഇങ്ങിനെ എഴുതാൻ നോക്കിയാൽ നിങ്ങൾക്ക് മനസിലാവുന്ന ഒരു കാര്യം വളരെ ചെറിയ സംഖ്യകൾക്ക് പോലും പാർട്ടീഷൻ വളരെ വലുതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന് 9 ന്റെ പാർട്ടീഷൻ 30 ആണ് , എന്ന് വച്ചാൽ 9 എന്ന സംഖ്യ മുപ്പത് തരത്തിൽ മറ്റു സംഖ്യകളുടെ തുകയായി എഴുതാം. പ്രശ്നം കംപ്യൂട്ടറുകളുടെ സഹായം ഇല്ലാതെ വലിയ സംഖ്യകളുടെ പാർട്ടീഷൻ കണ്ടുപിടിക്കുന്നത് മിനക്കെട്ട പരിപാടിയാണ്. ഏതൊരു സംഖ്യയുടെയും പാർട്ടീഷൻ കണ്ടുപിടിക്കാൻ ഉള്ള ഫോർമുല കണ്ടുപിടിച്ചത് രാമാനുജൻ ആണ്. നീൽസ് ബോർ തന്റെ അറ്റം ഘടനയുടെ കണ്ടുപിടുത്തത്തിന് ഈ പാർട്ടീഷൻ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് എന്ന് ഞാൻ എവിടെയോ വായിച്ചിട്ടുണ്ട്.

എന്തുകൊണ്ടായിരിക്കാം നമ്മുടെ പ്രധാനമന്ത്രിയും മറ്റ് ബിജെപ്പിക്കാരും ശ്രീനിവാസ രാമാനുജനെക്കുറിച്ചോ, പല തവണ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ നോബൽ സമ്മാനം നിഷേധിക്കപ്പെട്ട , ടാക്യോണുകളും , വി-എ തിയറിയും, ഗ്ലോബറിന് 2005 ലെ നോബൽ വാങ്ങി കൊടുത്ത പി റെപ്രെസെന്റഷന്റെ സഹ കണ്ടുപിടുത്തക്കാരനും മറ്റും ആയ ഇ സി ജി സുദര്ശനെക്കുറിച്ചോ ഒന്നും സംസാരിക്കാതെ സീതയെയും, ഗണപതിയേയും മഹാഭാരത സമയത്തെ ഇന്റർനെറ്റിന്റെയും കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നത്?

പല കാരണങ്ങൾ ഞാൻ കാണുന്നു. ഒന്ന്, ഇവരെക്കുറിച്ചെല്ലാം സംസാരിക്കണമെങ്കിൽ കാര്യം അറിയണം, കഥ മാത്രം അറിഞ്ഞാൽ പോരാ. രണ്ട് , ഇവർ ആഗ്രഹിക്കുന്ന പോലെ മതത്തെയും ദേശീയതയും ഒന്നും ജനങ്ങളുടെ മനസ്സിൽ കൊണ്ടുവരാൻ ഇങ്ങിനെ ഉള്ളവരെ കൊണ്ട് പറ്റില്ല, അതിന് പുരാണ കഥാപാത്രങ്ങൾ തന്നെ വേണം. പറയുന്നത് മണ്ടത്തരം ആണെന്ന് അറിഞ്ഞു കൊണ്ട് തന്നെ ഇവർ ഇതെല്ലം പറയുന്നതിന് വേറെ കാരണം ഒന്നും എനിക്ക് തോന്നുന്നില്ല.

ഈ മണ്ടത്തരങ്ങൾക്ക് ബദലായി നമ്മൾ തന്നേ ഇന്ത്യയിലെ ശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ കഥകൾ പറഞ്ഞു തുടങ്ങണം, ഇങ്ങിനെ ഉള്ളവരെ കുറിച്ചാണ് ആളുകൾ അറിയേണ്ടത്.

നോട്ട് 0 : രാമാനുജന്റെ കഥ പോലെ തന്നെ അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഭാര്യ ജാനകി അമ്മാളുടെ കഥയും വായിക്കേണ്ടതാണ്. ഒരു കുട്ടിയെ ദത്തെടുത്ത വളർത്തിയ ജാനകിയമ്മാൾ, 1994 ൽ ആണ് അന്തരിച്ചത്. അവരുടെ ജാതിയിൽ ഉള്ള കീഴ്‌വഴക്കം അനുസരിച്ച് അവർ ഒരിക്കലും പുനർവിവാഹം ചെയ്തില്ല. അവസാനകാലത്ത് ഒഴികെ അധികം അറിയപ്പെടാതെ പോയ ഒരു ജീവിതം ആണ് അവർ ജീവിച്ച് തീർത്തത്. വയസുകാലത്ത് പെൻഷൻ കിട്ടുന്നത് വരെ തയ്യൽജോലികൾ ചെയ്താണ് അവർ കഴിഞ്ഞത്. രാമാനുജന്റെ നോട്ടുപുസ്തകങ്ങൾ ഗണിത ശാസ്ത്രത്തിന് കൊടുത്ത സംഭാവനകൾ നോക്കുമ്പോൾ അവർ ഒരു റാണിയെ പോലെ കഴിയേണ്ടത് ആയിരുന്നു. അവരുടെ കഥ ഇവിടെ വായിക്കാം. http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/newnow/janaki.pdf

നോട്ട് 1 : രാമാനുജനെ കുറിച്ച് കൂടുതൽ അറിയാൻ : http://blog.stephenwolfram.com/2016/04/who-was-ramanujan/

നോട്ട് 2 : നഷ്ടപെട്ട നോട്ടുപുസ്തകത്തിന്റെ ചരിത്രം : https://faculty.math.illinois.edu/~berndt/articles/lostnotebookhistory.pdf

നോട്ട് 3 : ഫെർമായുടെ അവസാന തിയറം : https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem

നോട്ട് 4 : രാമാനുജന്റെ നോട്ടുപുസ്തകങ്ങളെ കുറിച്ച് : https://faculty.math.illinois.edu/~berndt/articles/aachen.pdf

നോട്ട് 5 : പാർട്ടീഷനെ കുറിച്ച് https://www.youtube.com/watch?v=NjCIq58rZ8I

അവസാനമായി 1 + 2 + 3 + 4 ….. = -1/12 എങ്ങിനെ കിട്ടും എന്നുള്ളതിന്റെ വിശദീകരണം : https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww , ശ്രദ്ധിച്ച് കാണുക, കാരണം നമ്മൾ സാധാരണ ഉദ്ദേശിക്കുന്ന കണക്കുകൂട്ടലിൽ അല്ല ഇങ്ങിനെ ഉള്ള ഉത്തരം വരുന്നത്.